La última vez vimos que los reordenamientos de n bolas, lo que podríamos considerar sus simetrías, forman un grupo, el grupo de permutaciones de n elementos, denotado Sn. Tal vez te preguntes qué tiene que ver esto con simetrías, digamos, usuales: por ejemplo, las de figuras geométricas sencillas. ¿Qué dice esto acerca de las simetrías de un triángulo equilátero, por ejemplo? Bien, si damos nombre a los vértices del triángulo, recuperamos una configuración de tres bolas, casi como la de la última vez:
Después de tanto hablar de jerga, cambiemos algo de tercio. La situación que te traigo es la siguiente. Tienes tres bolas distintas, a las que vamos a llamar A, B y C. ¿Cuántas maneras distintas hay de reordenarlas?
Un razonamiento es como sigue. La bola A puede ir en tres posiciones distintas: puede ser la primera, la del medio, o la última. Sin saber en qué posición va la bola A, lo único que sabemos es que la bola B no puede ocupar la posición que ocupa la A, y por tanto sólo tiene dos posiciones a su, digamos, disposición. Por ejemplo, si la bola A está en el medio, la bola B sólo puede ir en una de estas posiciones: primera, o última. Finalmente, una vez las posiciones de las bolas A y B están concretadas, la bola C sólo tendrá una posibilidad: ocupar la posición no ocupada por las otras dos bolas. En resumen: hay 3 posibilidades para A, por cada una de ellas hay 2 posibilidades para B, y por cada una de ellas hay 1 posibilidad para C. Es decir, el número de posiciones es 3·2·1 = 6. Bien. Ahora, por lo pronto, parece que este razonamiento no depende en esencia de que hayamos empezado con tres bolas. Y, de hecho, se puede extender a cualquier número de bolas: si quisieras reordenar 5 bolas, tendrías 5·4·3·2·1 = 125 posibilidades. Esta manera de construir números, a partir de multiplicar todos los números entre 1 y uno dado, es lo que se llama factorial: el factorial de un número \(N\), denotado \(N!\), es el número
Es difícil ponerse a hablar de álgebra y conceptos relacionados sin manejar un poco de jerga. Recuerdo que esto fue lo que estudié en las primeras clases de Álgebra Lineal en la carrera, y realmente son términos que aparecen una y otra vez y que complican la vida del algebrista que reniega de ellos. Una cosa es que queramos mantener las matemáticas comprensibles, y otra convertirlas en largas listas de propiedades. Las cosas tienen nombre, ¿sabes? Así que empecemos.
Plantéate el siguiente juego (asumo que aceptas llamar juego a las matemáticas). Escoge un número natural al azar, distinto de cero: llamémoslo \(N\). Empieza a contar desde cero, como si contases ovejas, sólo que ahora, cuando llegues a \(N\), no dirás \(N\) sino 0, y vuelves a empezar. Por ejemplo, si \(N\) es 5, empezarías diciendo 0, 1, 2, 3, 4, y volverías a empezar: 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0…