La última vez vimos que los reordenamientos de n bolas, lo que podríamos considerar sus simetrías, forman un grupo, el grupo de permutaciones de n elementos, denotado Sn. Tal vez te preguntes qué tiene que ver esto con simetrías, digamos, usuales: por ejemplo, las de figuras geométricas sencillas. ¿Qué dice esto acerca de las simetrías de un triángulo equilátero, por ejemplo? Bien, si damos nombre a los vértices del triángulo, recuperamos una configuración de tres bolas, casi como la de la última vez:
Después de tanto hablar de jerga, cambiemos algo de tercio. La situación que te traigo es la siguiente. Tienes tres bolas distintas, a las que vamos a llamar A, B y C. ¿Cuántas maneras distintas hay de reordenarlas?
Un razonamiento es como sigue. La bola A puede ir en tres posiciones distintas: puede ser la primera, la del medio, o la última. Sin saber en qué posición va la bola A, lo único que sabemos es que la bola B no puede ocupar la posición que ocupa la A, y por tanto sólo tiene dos posiciones a su, digamos, disposición. Por ejemplo, si la bola A está en el medio, la bola B sólo puede ir en una de estas posiciones: primera, o última. Finalmente, una vez las posiciones de las bolas A y B están concretadas, la bola C sólo tendrá una posibilidad: ocupar la posición no ocupada por las otras dos bolas. En resumen: hay 3 posibilidades para A, por cada una de ellas hay 2 posibilidades para B, y por cada una de ellas hay 1 posibilidad para C. Es decir, el número de posiciones es 3·2·1 = 6. Bien. Ahora, por lo pronto, parece que este razonamiento no depende en esencia de que hayamos empezado con tres bolas. Y, de hecho, se puede extender a cualquier número de bolas: si quisieras reordenar 5 bolas, tendrías 5·4·3·2·1 = 125 posibilidades. Esta manera de construir números, a partir de multiplicar todos los números entre 1 y uno dado, es lo que se llama factorial: el factorial de un número \(N\), denotado \(N!\), es el número
Es difícil ponerse a hablar de álgebra y conceptos relacionados sin manejar un poco de jerga. Recuerdo que esto fue lo que estudié en las primeras clases de Álgebra Lineal en la carrera, y realmente son términos que aparecen una y otra vez y que complican la vida del algebrista que reniega de ellos. Una cosa es que queramos mantener las matemáticas comprensibles, y otra convertirlas en largas listas de propiedades. Las cosas tienen nombre, ¿sabes? Así que empecemos.
Volveremos a la criptografía, te lo prometo. Es sólo que últimamente he estado ocupado haciendo otras cosas y tengo más ganas de hablar de otros temas. Espero que no te importe.
Todo el mundo ha oído hablar del concepto dimensión. ¿Realmente tengo que explicar de qué va? Entendemos que, siempre que esa palabra es invocada, es para hablar de tamaño o importancia de algo. Se habla de las dimensiones de un problema cuando dicho problema afecta a mucha gente, o de las dimensiones de un edificio. Lo que pasa es que también se usa para cosas de física, o para realidades paralelas, o para ver películas, y es esto lo que, sospecho, confunde un poco. Vivimos en tres dimensiones, o tal vez en cuatro, o quizá incluso en once. Al menos eso dicen, pero nuestras películas parecen todavía atascadas en las dos o tres dimensiones. Parece que lo importante es contar estas dimensiones, y como parece que no podemos contar sin ordenar, también buscamos organizarlas en algún tipo de jerarquía. Eso explica que la gente me pregunte por “la cuarta dimensión”, o “si la cuarta dimensión es el tiempo, y hay once, ¿cuáles son las otras?”.
Plantéate el siguiente juego (asumo que aceptas llamar juego a las matemáticas). Escoge un número natural al azar, distinto de cero: llamémoslo \(N\). Empieza a contar desde cero, como si contases ovejas, sólo que ahora, cuando llegues a \(N\), no dirás \(N\) sino 0, y vuelves a empezar. Por ejemplo, si \(N\) es 5, empezarías diciendo 0, 1, 2, 3, 4, y volverías a empezar: 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0…
La última vez hablamos de algunos métodos criptográficos que se usaban en la más o menos antigüedad. Eran todos ellos métodos relativamente fáciles de explicar, y podían ser útiles en diversas ocasiones, pero para todos ellos existía una manera de romperlos: incluso aunque el emisor y el receptor no hubieran cometido errores, era posible, siendo relativamente hábil, llegar al mensaje original. Sin embargo, el sistema que tratamos hoy es más bien todo lo contrario: si no se cometen errores, tratar de recuperar el mensaje en texto plano puede ser prácticamente imposible. ¿Escéptica ante la posibilidad de que hayamos resuelto el problema del envío seguro de mensajes la segunda vez que hablamos de criptografía? Sana actitud la tuya.
Después de tratar los infinitos, tal vez te hayas hecho consciente (si no lo eras ya) de que la gente en matemáticas estudia algo más que cómo hacer cuentas, y que en algunos casos sus objetos de estudio son altamente abstractos y, en fin, raros. La estrategia que siguen aquellos que intentan vender las matemáticas como algo útil no pasa, como comprenderás, por hablar de los distintos infinitos que puede haber. Por el contrario, esta gente te pondrá ejemplos de campos relacionados con las matemáticas aplicadas. Te hablarán de análisis de datos, machine learning, cálculo numérico, reducción de ruido en imágenes o sonido, modelos de desarrollo de tumores, y otras cosas. Y algo que nunca falta es la criptografía.
¿Hay más números pares, impares, o naturales? Parece que debería haber tantos pares como impares, porque a cada impar puedes asociarle un par (súmale o réstale 1), lo que implica que hay una biyección entre ellos y, como vimos en la entrada anterior, que tienen el mismo cardinal (o sea, “la misma cantidad de elementos”). Ahora, en su día, yo creía que habría más naturales que pares, porque los naturales contienen todos los pares pero tienen además números extra. En la jerga matemática, había encontrado una función inyectiva de los pares a los naturales que no era suprayectiva, luego no era una biyección. Pero bien podía ser que existiera otra función que sí lo fuera. Y, en efecto, existe: la función que multiplica por 2 cada número natural es una función de los naturales a los pares, que es inyectiva (no puede ser que dos números distintos sean iguales tras multiplicarlos por 2) y suprayectiva (cualquier par es el doble de otro número natural). Luego, por sorprendente que pueda parecer en un principio, hay tantos pares como naturales.
En la última entrada mostramos que, si tenemos una cantidad infinita de elementos ordenada de una cierta manera, podemos reordenarla de forma que el resultado sea, digamos, esencialmente distinto. Recuerda la carrera con infinitos competidores: es posible que en la clasificación final nadie quede último (\(ω\)), o que haya un último (\(ω+1\)), o que haya último y penúltimo (\(ω+2\)), o incluso que el resultado sea como dos carreras infinitas sin último, una detrás de otra (\(ω\cdot 2\)). La manera de demostrar que realmente podíamos hacer esta reorganización consistía en hacer una tabla con dorsales y posiciones, de manera que quedara claro que ambas clasificaciones, la original (según el número del dorsal) y la nueva, podían ser perfectamente válidas para nuestra carrera.
En una carrera participan 10 personas. Salen, corren los kilómetros que deban correr (salvo que sean como yo, en cuyo caso tal vez sólo corran “kilómetro” en singular), y terminan. Pongamos que has visto cómo iban llegando, y que has anotado su orden de llegada. Una de esas personas habrá llegado en primera posición, otra en la segunda, y así hasta la décima. Todo según lo previsto, pues corrían 10 personas: si hubieras visto que nadie llegaba en décima posición, tal vez hubieras dado la voz de alarma por una persona que nunca llegó a la meta; si hubieras visto que alguien llegaba en la undécima posición, habrías enarcado una ceja y sospechado juego sucio. Pero todo sale bien: eran diez personas, y todas las posiciones de la primera a la décima están cubiertas.
En la última entrada habíamos tratado cómo escribir los números desde el punto de vista de conjuntos: el 0 sería el conjunto vacío, sin elementos; el 1, el conjunto que contiene únicamente al número 0; el 2, el conjunto que contiene a 0 y 1, y así. Esto nos daba una forma de describir cualquier número, en principio: empezando desde el 0, podíamos ir describiéndolos todos de uno en uno hasta llegar al número deseado. Cierto es que, si el número que te interesa describir es gigantesco, tal vez no llegues a él antes de que la muerte llegue a ti, pero en este momento, con nuestro sombrero de matemático puro sobre nuestras cabezas, cómo hacer las cosas en la práctica nos parece irrelevante.
¿Qué es un número? Es una pregunta razonable. Todos sabemos que tres manzanas no son lo mismo que tres ovejas o que tres ciudades, pero no obstante tenemos una idea de que hay algo conectando esas nociones. Que, desde el punto de vista de la cantidad de cosas, esas tres nociones son muy parecidas. Tan parecidas que somos capaces de abstraer ese algo común, esa noción de tres, denotarla con el símbolo 3 y jugar con la idea abstracta en clases de matemáticas. Te puedes preguntar, entonces, qué hay de real en esa idea abstracta, en ese 3 y, en tu búsqueda de respuestas, acudir a este aún joven blog.