Volveremos a la criptografía, te lo prometo. Es sólo que últimamente he estado ocupado haciendo otras cosas y tengo más ganas de hablar de otros temas. Espero que no te importe.
Todo el mundo ha oído hablar del concepto dimensión. ¿Realmente tengo que explicar de qué va? Entendemos que, siempre que esa palabra es invocada, es para hablar de tamaño o importancia de algo. Se habla de las dimensiones de un problema cuando dicho problema afecta a mucha gente, o de las dimensiones de un edificio. Lo que pasa es que también se usa para cosas de física, o para realidades paralelas, o para ver películas, y es esto lo que, sospecho, confunde un poco. Vivimos en tres dimensiones, o tal vez en cuatro, o quizá incluso en once. Al menos eso dicen, pero nuestras películas parecen todavía atascadas en las dos o tres dimensiones. Parece que lo importante es contar estas dimensiones, y como parece que no podemos contar sin ordenar, también buscamos organizarlas en algún tipo de jerarquía. Eso explica que la gente me pregunte por “la cuarta dimensión”, o “si la cuarta dimensión es el tiempo, y hay once, ¿cuáles son las otras?”.
Aviso: no voy a hablar de física, ni de las cosas a las que juegan con nuestra realidad. No quiero hacerte eso hoy. Pero sí voy a comentar un poco la idea que tiene un matemático – este matemático, al menos – acerca del significado de las dimensiones. El que te escribe no tiene una definición concreta de lo que es una dimensión, pero sí te puede dar conceptos relacionados y ejemplos que harían que matemáticos profesionales me miraran mal fugazmente antes de volver a mirar al suelo.
Para mí las palabras clave son complejidad y parámetros. Un plano o similar, como una hoja de papel o la superficie de una mesa, tiene dos dimensiones. La idea es que tú puedes fijar un punto origen en el plano, al que llamas \(O\), y dos rectas o ejes perpendiculares que pasan por \(O\), y a las que llamamos eje \(X\) y eje \(Y\). Teniendo ese punto origen y esos ejes, cualquier otro punto en el plano viene descrito por dos coordenadas o parámetros: la distancia del punto a cada uno de los ejes, entendida como la longitud del segmento más corto que une el punto al eje correspondiente, con un signo que denote a qué lado del otro eje está. Yo puedo darte las coordenadas (+4,+2) y tú puedes encontrar un único punto que esté simultáneamente
Cuestión: ¿tienen que ser justamente dos coordenadas? Podría haberte dado más coordenadas, por ejemplo (+4,+2,+1), pero parece claro que sobra una de ellas: si las dos primeras coordenadas ya identifican un único punto, ¿qué valor aporta introducir una tercera? Puedes definir otro eje en ese plano y decir que la tercera coordenada es la distancia a ese eje: nadie te lo impide, pero parece innecesario. De hecho, podrías pifiarla, y que la tercera coordenada no cuadre con el punto que determinaban las otras dos. Asimismo, ¿podría bastar con menos coordenadas? Podría darte la coordenada (+4), pero encontrarías muchos puntos a la derecha del eje \(Y\) a distancia 4 del mismo. ¿Tal vez escogiendo otro eje? Mismo problema. ¿Distancia al origen \(O\)? Tienes una circunferencia entera de puntos a distancia \(4\) del origen: infinitos puntos como para que saber el signo + sirva de algo.
En el caso de una línea recta, se dice que tiene una dimensión: en el momento que fijas un punto origen de la recta, cualquier otro punto queda determinado por su distancia al origen y el lado del origen en el que está, luego basta con un número real. Menos coordenadas no puedes tener, porque sería no usar ninguna coordenada; usar más coordenadas conlleva los mismos problemas que en el caso bidimensional. Si ahora pensamos en un punto sin más, podríamos decir que tiene cero dimensiones: sólo hay un punto en el punto (esto es obvio), así que no hace falta ninguna coordenada para especificar a qué punto te refieres. Saltando ahora al mundo real, o lo que llamamos informalmente espacio, decimos que tiene tres dimensiones: una vez concretas un punto origen y tres ejes perpendiculares que se cortan en el origen, cualquier otro punto del espacio queda determinado por tres coordenadas. Si das cuatro, una sobra; si das dos, está claro que te quedas corta, porque dos coordenadas sólo determinan el punto dentro de un plano y no sabes a qué plano te refieres.
¿Por qué se dice, sobre todo entre los fisicoparlantes, que la cuarta dimensión es el tiempo? Porque en física puede ser interesante manejar simultáneamente, además de los tres parámetros espaciales, un cuarto parámetro que dé idea de “posición en el eje temporal”. Ignoremos a nuestro físico interior por unos instantes y hablemos sin temor a nuestra ignorancia de la historia de esta disciplina. En física uno puede interesarse por el movimiento de partículas, objetos u otros entes en el espacio; este movimiento implica por tanto tres coordenadas espaciales. El asunto es que, en cierto modo, también esa partícula se mueve a través del tiempo: igual que ocupa distintas posiciones espaciales a medida que se mueve, ocupa distintas posiciones temporales a medida que pasa el tiempo. Una partícula puede ocupar la misma posición en distintos instantes – por ejemplo, si pasa por una posición y más tarde vuelve a pasar por ella – y podría interesarte introducir un parámetro temporal para distinguir esas posiciones – en el ejemplo anterior, si quieres decir que la partícula tenía tal velocidad en tal punto, podría dar lugar a equívoco si a ese mismo punto le vuelves a asociar la velocidad que tenía cuando pasó la segunda vez. De ahí que sea interesante pensar en el tiempo como una cuarta coordenada que describa con mayor precisión la posición, tanto espacial como temporal, de una partícula. Por cierto, que a medida que avanzaba la física y el nombre de Albert Einstein empezaba a ser reconocible, se empezó a ver exactamente cómo de relacionadas estaban las coordenadas espaciales y la coordenada temporal, y el considerar las trayectorias de las partículas como presentes dentro de un espacio-tiempo tetradimensional pasó a ser la manera natural de verlas.
Ahora bien, volvamos a ese ejemplo que acabo de mencionar. Tienes una partícula que pasa dos veces por el mismo sitio, y que tiene una velocidad distinta cada vez que pasa por él. Vale que podamos distinguir los dos puntos de la trayectoria de la partícula según el instante temporal en el que la partícula ocupa dichas posiciones, ¿pero por qué no usar precisamente esa velocidad, que es distinta, como parámetro que distinga las dos situaciones? Parece algo menos natural que considerar el tiempo, pero si lo piensas no es una idea tan distinta, y de hecho es una idea que se usa al considerar sistemas de partículas o similares que cambian de posición y velocidad con el tiempo, tanto en física como en matemáticas. Puedes tener una partícula que se mueva a lo largo de una línea recta, por lo que su posición requerirá una coordenada; si esa partícula está unida a un muelle y consideras su velocidad en cada lugar, lo que obtendrás será una trayectoria curva en el plano posición-velocidad. Es decir, de una partícula que se mueve en lo que llamaríamos una dimensión, obtienes una trayectoria en un espacio de dos dimensiones. Lo llamativo de esto es lo que pasa si ahora consideras una partícula que se mueve en un plano, luego cuya trayectoria requiera dos coordenadas espaciales. En este caso, su velocidad requerirá también dos coordenadas: una que indique la velocidad de la partícula en la dirección del eje-\(X\), y otra para su velocidad en la dirección del eje-\(Y\). Si ahora consideras las coordenadas espaciales y de velocidad simultáneamente, te salen 4 coordenadas: la trayectoria de la partícula tiene lugar en un, eh, ¿espacio-velocidad? tetradimensional (se suele llamar algo así como espacio de fases, pero no entremos en eso ahora mismo). Cuatro dimensiones, y ninguna es el tiempo. Curioso, ¿no? ¿Y si ahora la partícula se mueve en el espacio tridimensional que conocemos? Pues tienes tres coordenadas espaciales y tres de velocidad. Es decir, una trayectoria en un, digamos, ambiente de seis dimensiones.
Hemos conseguido cuatro dimensiones sin necesidad de considerar el tiempo. De hecho, hemos conseguido dos dimensiones sin necesidad de usar dos coordenadas espaciales. Da la sensación de que ninguna de las dimensiones en las que uno piensa normalmente tiene un lugar prefijado en una hipotética jerarquía de dimensiones: no hay una dimensión que sea la segunda, o la tercera, o la cuarta. Puedo descartar ya que exista una primera dimensión, correspondiente a una espacial: en termodinámica uno no suele pensar en este tipo de coordenadas, sino en otras que involucren las magnitudes de presión, volumen y temperatura. Tres parámetros, y ninguno es espacial, ni temporal. Por supuesto, si fueras a hacer un gráfico al respecto, lo harías sobre un plano o similar: que el hecho de que estos parámetros no sean espaciales no signifique que no puedas representarlos como si lo fueran. Pero el caso es que puedes requerir más y más dimensiones para estudiar un problema sin por ello cuestionar la naturaleza de la realidad. ¿Explica esto por qué algunos físicos dicen que hay más de cuatro dimensiones? Posiblemente no, porque ellos sí que están cuestionando la naturaleza de la realidad.
¿Sigues leyendo? ¿He roto tus ideas acerca de las dimensiones, o todo esto te parece un montón de tonterías? Porque la cosa mejora. Normalmente puede ser interesante considerar parámetros físicos o, digamos, con interpretación en la vida real: además de las consabidas coordenadas espaciales y de velocidad, y de las termodinámicas, en química o medicina las concentraciones tienen interés, y el parámetro “dinero” para designar precios, costes o ganancias es de interés para muchos. Si quieres hacer un seguimiento a un paciente en un hospital, tendrás que registrar la evolución de varios parámetros simultáneamente, con lo que en cierto modo estás representando la evolución de tu paciente como una trayectoria en un espacio multidimensional.
Nuestros parámetros no tienen que ser relacionados con la vida real tampoco, y es ahora cuando el algebrista que hay en mí comienza a frotarse las manos. Volvamos al caso de un punto en un plano: requiere dos coordenadas que puedes dar como dos números reales. Resulta que, cuando uno quiere escribir un número complejo, también lo da usando dos coordenadas reales: por ejemplo, las coordenadas (4,2) representan el número complejo \(4+2i\). Está casi en la definición de los números complejos el que pueden ser representados usando dos coordenadas reales, pero abre la pregunta de si un número real se puede representar, a su vez, en función de una serie de coordenadas, por ejemplo, racionales. ¿Cuántos parámetros serían necesarios? Hagámoslo paso a paso. Un número racional sólo necesita una coordenada racional, así que al menos una. Hay números reales de la forma \(a+b\sqrt2\), donde \(a\) y \(b\) son racionales; como la raíz de 2 no es racional, no podemos simplificar más estos números, luego requerirían dos coordenadas racionales. Hay números de la forma \(a+c\sqrt3\), con \(a\) y \(c\) racionales; de nuevo, no se pueden simplificar, así que también necesitan dos coordenadas racionales. Pero esto nos lleva a números de la forma \(a+b\sqrt2+c\sqrt3\): sin forma de simplificarlos, requieren tres coordenadas racionales. Tal vez veas ya el problema: cada vez que tomas la raíz de un número racional, y no te sale racional, tienes que añadir al menos una coordenada más, pero hay infinitas raíces de racionales que no son racionales. Luego cualquier número real que esté, digamos, hecho de raíces de racionales, requeriría un número infinito de coordenadas para poder representarlo. Y estos números no incluyen otros como \(\pi\), que requerirían una coordenada extra para representar números de la forma \(a+b\pi\), y otra para expresar \(\pi^2\), y otra para \(\pi^3\), etcétera. Para poder representar todos los números reales, necesitaríamos una cantidad infinita de parámetros, luego podemos decir que el conjunto de los númreos reales, visto desde el punto de vista de los números racionales, tiene dimensión infinita.
Técnicamente, esto último implicaría que el conjunto de los números complejos, si fueras a convertir las coordenadas reales en racionales, tendría también dimensión infinita desde el punto de vista de los racionales. Lo que ilustra el último fenómeno llamativo que comentaré hoy acerca del concepto de la dimensión: la dimensión depende fuertemente del punto de vista que tomes, puesto que usar parámetros sencillos requerirá probablemente una mayor cantidad de ellos. Los números complejos tienen dimensión infinita desde el punto de vista de los racionales, dimensión dos desde el punto de vista de los reales, y dimensión uno desde el punto de vista de los complejos. No hay escapatoria: cuanto menor sea la cantidad de parámetros que quieras usar, mayor será su complejidad.